如图,PA与⊙O相切于点A,PO的延长线与⊙O交于点C,若⊙O的半径为3,PA=4.弦AC的长为______.

问题描述:

如图,PA与⊙O相切于点A,PO的延长线与⊙O交于点C,若⊙O的半径为3,PA=4.弦AC的长为______.

连接OA,过A作AD⊥CP,
∵PA为圆O的切线,
∴PA⊥OA,
在Rt△AOP中,OA=3,PA=4,
根据勾股定理得:OP=5,
∵S△AOP=

1
2
AP•AO=
1
2
OP•AD,
∴AD=
AP•AO
OP
=
4×3
5
=
12
5

根据勾股定理得:PD=
PA2−AD2
=
16
5

∴CD=PC-PD=8-
16
5
=
32
5

则根据勾股定理得:AC=
AD2+DC2
=
4
73
5

故答案为:
4
73
5

答案解析:连接OA,过A作AD垂直于C,由PA为圆O的切线,得到PA与AO垂直,在直角三角形AOP中利用勾股定理求出OP的长,利用面积法求出AD的长,在直角三角形APD中,利用勾股定理求出PD的长,由CP-PD求出DC的长,在直角三角形ADC中,利用勾股定理即可求出AC的长.
考试点:切线的性质.
知识点:此题考查了切线的性质,勾股定理,以及三角形的面积,熟练掌握切线的性质是解本题的关键.