设P点是曲线y=x3-3x+23上的任意一点，P点处切线倾斜角为α，则角α的取值范围是（ ）A. [0，π2)∪[23π，π)B. [0，π2)∪[56π，π)C. [23π，π)D. (π2，56π)
问题描述：
设P点是曲线y=x3-
x+
3
上的任意一点，P点处切线倾斜角为α，则角α的取值范围是（ ）2 3
A. [0，
)∪[π 2
π，π)2 3
B. [0，
)∪[π 2
π，π)5 6
C. [
π，π)2 3
D. (
，π 2
π) 5 6
答
∵y′=3x2-
≥-
3
，∴tanα≥-
3
，
3
又∵0≤α≤π，
∴0≤α＜
或π 2
≤α＜π．2π 3
则角α的取值范围是[0，
）∪[π 2
，π）．2π 3
故选A．
答案解析：求出曲线解析式的导函数，根据完全平方式大于等于0求出导函数的最小值，由曲线在P点切线的斜率为导函数的值，且直线的斜率等于其倾斜角的正切值，从而得到tanα的范围，由α的范围，根据正切函数的值域得到自变量α的范围．
考试点：利用导数研究曲线上某点切线方程
知识点：考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会利用切线的斜率与倾斜角之间的关系k=tanα进行求解．