如图所示,已知AB∥CD,分别探讨下面的四个图形中∠APC与∠PAB﹑∠PCD的关系,请你从所得关系中任意选取一
如图所示,已知AB∥CD,分别探讨下面的四个图形中∠APC与∠PAB﹑∠PCD的关系,请你从所得关系中任意选取一
如图,
(1)∠APC=∠PAB+∠PCD;
(2)∠APC+∠PAB+∠PCD=360°;
(3)∠APC=∠PAB-∠PCD;
(4)∵AB∥CD,
∴∠POB=∠PCD,
∵∠POB是△AOP的外角,
∴∠APC+∠PAB=∠POB,
∴∠APC=∠POB-∠PAB,
∴∠APC=∠PCD-∠PAB.
(1)证明:过点P作AB∥PF,所以AB∥CD∥PF,∴∠APC=∠PAB+∠PCD(两直线平行,内错角相等).
第一个 :∠APC+∠PAB+∠PCD=360度 原因:过点P做PE平行于AB 发现 ∠APE与∠BAP同旁互补
同理 ∠CPE与∠DCP也同旁互补
第二个 :∠APC=∠PAB+∠PCD 原因:过点P做PE平行于BA 发现 ∠APE与∠BAP是内错角
(两直线平行 内错角相等)
第三个:∠APC+∠PAB=∠PCD 原因:(假设AB交PC于E)∠PCD=∠PEB ∠PEB是三角形APE
的外角
第四个:∠APC+∠PCD=∠PAB 原因和第三个一样
图呢
(法一)
如图1所示,过P点做EF∥AB,
则∠PAB=∠APE,(两直线平行,内错角相等)
又∵AB∥CD,
∴EF∥CD,(平行线的传递性)
∴∠PCD=∠EPC
∴∠APC=∠PAB+∠PCD
(法二)
延长CP交AB于点H,
则∠PCD=∠CHA(两直线平行,内错角相等)
则∠APC=∠PAB+∠AHP(外角性质)
=∠PAB+∠PCD(等量代换)
(法三)
如图3所示:连接AC,
则∠APC+(∠PAC +∠PCA)=180°(三角形内角和为180°)
又∵(∠PAC +∠PCA)+(∠PAB +∠PCD)=180°
∴∠APC=∠PAB +∠PCD(等量代换)
法四)
如图4所示:分别延长AP、CP,交CD、AB于F、E两点,
∠APC=∠EPD,(对顶角相等)
∵AB∥CD
∴∠AEC=∠PCD(两直线平行,内错角相等)
则∠EPD=∠PAB+∠AEC(外角性质)
=∠PAB+∠PCD(等量代换)
则∠APC =∠PAB+∠PCD(等量代换)
(法五)
如图5所示:过点P做PE⊥AB,延长EP交CD于点F,
则EF⊥CD,(两直线平行,内错同旁内角互补)
由∠APE+∠PAB+∠AEP=180°(三角形内角和为180°)
∠CPF+∠PCD+∠PFC=180°(三角形内角和为180°)
∵∠AEP=90°,∠PFC=90°
∴(∠APE+∠CPF)+(∠PAB +∠PCD)=180°
又∵(∠APE+∠CPF)+∠APC=180°
∴∠APC=∠PAB +∠PCD(等量代换)
(法一)如图1所示,过P点做EF∥AB,则∠PAB=∠APE,(两直线平行,内错角相等)又∵AB∥CD,∴EF∥CD,(平行线的传递性)∴∠PCD=∠EPC∴∠APC=∠PAB+∠PCD(法二)延长CP交AB于点H,则∠PCD=∠CHA(两直线平行,内错角相...