在△ABC中,角A,B,C所对边分别为a,b,c.若b2=ac,求y=1+sin2BsinB+cosB的取值范围.

问题描述:

在△ABC中,角A,B,C所对边分别为a,b,c.若b2=ac,求y=

1+sin2B
sinB+cosB
的取值范围.

∵b2=ac,∴cosB=a2+c2−b22ac=a2+c2−ac2ac=12(ac+ca)-12≥12.∴0<B≤π3,y=1+sin2BsinB+cosB=(sinB+cosB)2sinB+cosB=sinB+cosB=2sin(B+π4).∵π4<B+π4≤7π12,∴22<sin(B+π4)≤1.故1<y≤2....
答案解析:由a、b及c依次成等比数列,根据等比数列的性质得到b2=ac,然后根据余弦定理表示出cosB,把b2=ac代入后化简,利用基本不等式即可求出cosB大于等于

1
2
,由B为三角形的内角,利用特殊角的三角函数值得到B的范围,把所求的式子的分子中的“1”变为sin2B+cos2B,sin2B利用二倍角的正弦函数公式化简,分子刚好为一个完全平方式,与分母约分后得到sinB+cosB,然后提取
2
,利用两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角(B+
π
4
)的正弦函数,根据B的范围,求出B+
π
4
的范围,根据正弦函数的值域及图象,得到sin(B+
π
4
)的范围,进而得到y的范围.
考试点:余弦定理;等比数列的性质;同角三角函数基本关系的运用;正弦函数的定义域和值域.
知识点:此题考查学生掌握等比数列的性质及正弦函数的值域,灵活运用余弦定理及同角三角函数间的基本关系化简求值,灵活运用两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简求值,是一道中档题.