在三角形ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a、b、c且b2+c2=bc+a2 （1）求∠A； （2）若a＝3，求b2+c2的取值范围．
问题描述：
在三角形ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a、b、c且b2+c2=bc+a2
（1）求∠A；
（2）若a＝
，求b2+c2的取值范围．
3
答
（1）由余弦定理知：
cosA=
=
b2+c2−a2
2bc
，又A∈（0，π）1 2
∴∠A=
π 3
（2）由正弦定理得：
＝a sinA
＝b sinB
＝2c sinC
∴b=2sinB，c=2sinC
∴b2+c2=4（sin2B+sin2C）=2（1-cos2B+1-cos2C）
=4-2cos2B-2cos2（
-B）2π 3
=4-2cos2B-2cos（
-2B）4π 3
=4-2cos2B-2（-
cos2B-1 2
sin2B）
3
2
=4-cos2B+
sin2B
3
=4+2sin（2B-
），π 6
又∵0＜∠B＜
，∴−2π 3
＜2B-π 6
＜π 6
7π 6
∴-1＜2sin（2B-
）≤2π 6
∴3＜b2+c2≤6．