设a、b、c为三个不同的实数，使得方程x2+ax+1=0和x2+bx+c=0有一个相同的实数根，并且使方程x2+x+a=0和x2+cx+b=0也有一个相同的实数根，试求a+b+c的值．
问题描述：
设a、b、c为三个不同的实数，使得方程x2+ax+1=0和x2+bx+c=0有一个相同的实数根，并且使方程x2+x+a=0和x2+cx+b=0也有一个相同的实数根，试求a+b+c的值．
答
知识点：本题考查了根与系数的关系及二元一次方程的解，属于基础题，关键是根据韦达定理解题．
设x12+ax1+1=0，x12+bx1+c=0，两式相减，得（a-b）x1+1-c=0，解得x1=
，c−1 a−b
同理，由x22+x2+a=0，x22+cx2+b=0，得x2=
（c≠1），a−b c−1
∵x2=
，1 x1
∴
是第一个方程的根，1 x1
∵x1与
是方程x12+ax1+1=0的两根，1 x1
∴x2是方程x2+ax+1=0和x2+x+a=0的公共根，
因此两式相减有（a-1）（x2-1）=0，
当a=1时，这两个方程无实根，
故x2=1，从而x1=1，
于是a=-2，b+c=-1，
所以a+b+c=-3．
答案解析：设x12+ax1+1=0，x12+bx1+c=0，得x1=
，同理，由x22+x2+a=0，x22+cx2+b=0，得x2=c−1 a−b
（c≠1），再根据韦达定理即可求解．a−b c−1
考试点：根与系数的关系；二元一次方程的解．
知识点：本题考查了根与系数的关系及二元一次方程的解，属于基础题，关键是根据韦达定理解题．