已知函数f（x）=mx-mx，g（x）=2lnx（1）当m=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）当m=1时，证明方程f（x）=g（x）有且仅有一个实数根；（3）若x∈（1，e]时，不等式f（x）-g（x）＜2恒成立，求实数m的取值范围．
问题描述：
已知函数f（x）=mx-
，g（x）=2lnxm x
（1）当m=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）当m=1时，证明方程f（x）=g（x）有且仅有一个实数根；
（3）若x∈（1，e]时，不等式f（x）-g（x）＜2恒成立，求实数m的取值范围．
答
（1）m=2时，f(x)=2x-2x，f′(x)=2+2x2，f′(1)=4，切点坐标为（1，0），∴切线方程为y=4x-4…（2分）（2）m=1时，令h(x)=f(x)-g(x)=x-1x-2lnx，h′(x)=1+1x2-2x=(x-1)2x2≥0，∴h（x）在（0，+∞）上为增函数．…（...
答案解析：（1）m=2时，f(x)=2x-
，求出导函数f'（x），从而求出f'（1）得到切线的斜率，求出切点，根据点斜式可求出切线方程；2 x
（2）m=1时，令h(x)=f(x)-g(x)=x-
-2lnx，求出h'（x），判定符号得到函数在（0，+∞）上的单调性，然后判定h(e)•h(1 x
)的符号，根据根的存在性定理可得结论；1 e
（3）mx-
-2lnx＜2恒成立，即m（x2-1）＜2x+2xlnx恒成立，讨论x2-1的符号将m分离出来，利用导数研究不等式另一侧的最值，从而求出m的取值范围．m x
考试点：A:利用导数研究曲线上某点切线方程 B:根的存在性及根的个数判断 C:利用导数研究函数的单调性 D:利用导数求闭区间上函数的最值
知识点：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及根的存在性和利用导数求闭区间上函数的最值，同时考查了分类讨论的数学思想，属于中档题．