求实数a的取值范围使不等式sinx+cosx+4sinx•cosx+1-a≤0恒成立．
问题描述：
求实数a的取值范围使不等式sinx+cosx+4sinx•cosx+1-a≤0恒成立．
答
令sinx+cosx=t，则有sinxcosx=t2−12，t∈[-2，2]．不等式sinx+cosx+4sinx•cosx+1-a≤0恒成立，即 a≥2t2+t-1=2(t+14)2-98 恒成立．而对于函数y=2(t+14)2-98，当t=2时，函数y取得最大值为3+2，故有a≥3+...
答案解析：令sinx+cosx=t，则有sinxcosx=
，t∈[-
t2−1 2
，
2
]．由题意可得 a≥2t2+t-1=2(t+
2
)2-1 4
恒成立．利用二次函数的性质求得函数y=2(t+9 8
)2-1 4
的最大值为3+9 8
，从而得到a的范围．
2
考试点：三角函数的最值．
知识点：本题主要考查函数的恒成立问题，求函数的最大值，体现了转化的数学思想，属于中档题．