设A,B 分别是m*n,n*m矩阵,证明:AB和BA有相同的非零特征值.

问题描述:

设A,B 分别是m*n,n*m矩阵,证明:AB和BA有相同的非零特征值.

如果a 是AB的非零特征值,则存在非零向量x,使得 ABx=ax **.
而Bx不等于零,否则若Bx=0有ax=0,与a非零和x非零矛盾.
记:Bx=y.
由**左乘B,可知BAy=ay.因y为非零向量,所以a也是BA的特征值.
同理,BA的非零特征值也是AB的特征值.
即得证结论.