设A是m*n矩阵,若存在非零的n*s矩阵B,使得AB=O,证明秩r(A)

问题描述:

设A是m*n矩阵,若存在非零的n*s矩阵B,使得AB=O,证明秩r(A)

数学人气:781 ℃时间:2019-09-22 10:23:51
优质解答
因为A是m*n矩阵,则r(A)假设r(A)=n,则方程AX=0只有零解(因为其解空间的维数=n-r(A)=0)
又AB=O,则对于B的每个列向量b,均有Ab=O
即b为方程AX=0的解,故b=O,从而B=O
与条件B非零矛盾,假设不成立,r(A)

因为A是m*n矩阵,则r(A)假设r(A)=n,则方程AX=0只有零解(因为其解空间的维数=n-r(A)=0)
又AB=O,则对于B的每个列向量b,均有Ab=O
即b为方程AX=0的解,故b=O,从而B=O
与条件B非零矛盾,假设不成立,r(A)