已知数列{an}中，其中Sn为数列{an}的前n项和，并且Sn+1=4an+2 （n∈N*），a1=1 （1）bn=an+1-2an （n∈N*），求证：数列{bn}是等比数列； （2）设数列cn=an2n（n∈N*）求证：数列{cn}是等
问题描述：
已知数列{an}中，其中Sn为数列{an}的前n项和，并且Sn+1=4an+2 （n∈N*），a1=1
（1）bn=an+1-2an （n∈N*），求证：数列{bn}是等比数列；
（2）设数列cn=
（n∈N*）求证：数列{cn}是等差数列；an 2n
（3）求数列{an}的通项公式和前n项．
答
（1）由Sn+1=4an+2 （n∈N*）知，Sn+2=4an+1+2，两式相减得an+2=4an+1-4an
an+2-2an+1=2（an+1-2an），又bn=an+1-2an所以bn+1=2bn…①
已知S2=4a1+2，a1=1解得a2=5，b1=a2-2a1=3 …②
由①②得数列{bn}是首项为3，公比为2的等比数列，∴bn=3•2n-1．…（4分）
（2）∵bn=an+1-2an=3•2n-1．…
∵cn=
（n∈N*），an 2n
∴cn+1-cn=
− an+1
2n+1
=an 2n
=
an+1−2an
2n+1
=3•2n−1
2n+1
．3 4
又c1=
=a1 2
，1 2
故数列{cn}是首项为
，公差是1 2
的等差数列，3 4
∴cn=
n-3 4
…（8分）1 4
（3）∵cn=
（n∈N*） an 2n
又cn=
n-3 4
1 4
∴an=（3n-1）2n-2…（10分）
当n≥2时，Sn=4an-1+2=（3n-4）2n-1+2；
当n=1时S1=a1=1也适合上式，
所以{an}的前n项为Sn=（3n-4）2n-1+2…（12分）