已知函数f(x)=2lnx-1/2ax2-3x,其中a为常数.若当x=1时,f(x)取得极值,求a的值,并求出f(x)的单调区间.

问题描述:

已知函数f(x)=2lnx-

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ax2-3x,其中a为常数.若当x=1时,f(x)取得极值,求a的值,并求出f(x)的单调区间.

f(x)=2lnx-

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ax2-3x的定义域为(0,+∞)
∵f′(x)=
2
x
-ax-3,
∵当x=1时,f(x)取得极值,
∴f′(1)=0,
即2-a-3=0,
解得a=-1,
∴f′(x)=
2
x
+x-3=
x2-3x+2
x
=
(x-1)(x-2)
x

令f′(x)=0,解得x=1,或x=2,
当f′(x)>0时,解得0<x<1,或x>2,
当f′(x)<0时,解得1<x<2,
故函数f(x)在(0,1)和(2,+∞)上为增函数,在(1,2)上为减函数