在△ABC中，角A、B、C的 对边分别为a、b、c，且cos2C＝1−8b2a2．（1）求1tanA+1tanC的值；（2）若tanB＝815，求tanA及tanC的值．

答

（1）∵cos2C＝1−

8b2

a2

，cos2C=1-2sin²C，
∴sin2C＝

4b2

a2

，
∵C为三角形内角，∴sinC＞0，
∴sinC＝

2b

a

，
∵

a

sinA

＝

b

sinB

，∴

b

a

＝

sinB

sinA

，
∴sinC=

2sinB

sinA

，即2sinB=sinAsinC，
∵A+B+C=π，
∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，
∴2sinAcosC+2cosAsinC=sinAsinC，
∵sinA•sinC≠0，
∴

1

tanA

+

1

tanC

＝

1

2

；
（2）∵

1

tanA

+

1

tanC

＝

1

2

，
∴tanA＝

2tanC

tanC−2

，
∵A+B+C=π，
∴tanB＝−tan(A+C)＝−

tanA+tanC

1−tanAtanC

＝

tan2C

2tan2C−tanC+2

．
∴

8

15

＝

tan2C

2tan2C−tanC+2

，
整理得tan²C-8tanC+16=0，
解得：tanC=4，
将tanC=4代入得：tanA＝

2tanC

tanC−2

=4．
答案解析：（1）利用二倍角的余弦函数公式化简cos2C，变形后求出sin²C的值，由C为三角形的内角，得到sinC大于0，开方可得出sinC的值，利用正弦定理化简得到的关系式，得到2sinB=sinAsinC，再由三角形的内角和定理及诱导公式得到sinB=sin（A+C），代入关系式中，利用两角和与差的正弦函数公式化简，根据sinAsinC不为0，等式左右两边同时除以cosAcosC，利用同角三角函数间的基本关系弦化切后，即可得到所求式子的值；
（2）由第一问求出的式子表示出tanA，然后把tanB中的B换为π-（A+C），利用诱导公式化简后，将表示出的tanA代入，得到关于tanC的方程，求出方程的解得到tanC的值，代入表示出的tanA，可得出tanA的值．
考试点：正弦定理；两角和与差的正弦函数；两角和与差的正切函数．
知识点：此题考查了正弦定理，诱导公式，两角和与差的正弦、正切函数公式，二倍角的余弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．