已知平面直角坐标系中,有点A(1 ,3 ),B(4,2),直线L的方程为x+y+1=0

问题描述:

已知平面直角坐标系中,有点A(1 ,3 ),B(4,2),直线L的方程为x+y+1=0
P为直线l上的一个动点,(1)求|PA|^2+|PB|^2的最小值,并求出此时点p坐标(2)|PA|+|PB|的最小值,并求出此时点p坐标

(1)设P点坐标为(x,y)其中y=-(x+1);
|PA|^2+|PB|^2=(x-1)^2+(y-3)^2+(x-4)^2+(y-2)^2=4x^2+4x+42
令4x^2+4x+42=Y;对等式两边同时求导,同时令Y‘=0解得x=-2
所以Y=50,此时P点坐标为(-2,1)
(2)求|PA|+|PB|的最小值等价于求(|PA|+|PB|)^2的最小值.
(|PA|+|PB|)^2=|PA|^2+|PB|^2+2|PA||PB|=50+2|PA||PB|=88.7603
(|PA|+|PB|)min=9.42