如图,直角坐标系中,矩形OABC的顶点A、B坐标分别为(3,0),(3,4),动点M、N分别从点O、B同时出发,都以每秒1个单位的速度运动,其中点M沿OA向终点A运动,点B沿BC向终点C运动,过点N作NP⊥BC,交AC于P,连接MP,已知动点运动了x秒.(1)P点坐标为(______,______)(用含x的代数式表示)(2)当x为何值时,△MPA为等腰三角形.

问题描述:

如图,直角坐标系中,矩形OABC的顶点A、B坐标分别为(3,0),(3,4),动点M、N分别从点O、B同时出发,都以每秒1个单位的速度运动,其中点M沿OA向终点A运动,点B沿BC向终点C运动,过点N作NP⊥BC,交AC于P,连接MP,已知动点运动了x秒.

(1)P点坐标为(______,______)(用含x的代数式表示)
(2)当x为何值时,△MPA为等腰三角形.

动点运动x秒后,则BN=x,

则PG=

4
3
x,CN=3-x,
∵∠ACB=∠PCN,∠ABC=∠PNC=90°,
∴△CPN∽△CAB,
PN
AB
=
CN
CB
,又CN=3-x,AB=4,BC=3,
∴PN=
4
3
(3-x),
则PG=NG-NP=4-
4
3
(3-x)=
4
3
x,
∴P点的坐标为 (3-x,
4
3
x);
(2)要使得△MPA为等腰三角形,
①,AP=PM,使得AG=MG即可,
MG=3-x-x=3-2x,AG=x,解得x=1,
②,AM=AP,则AM=3-x,AP=
5
3
x,解得x=
9
8

③,PM=AM,则AM=3-x,PM=
(3−2x)2+(
4
3
x)
2
,解得x=
54
43

故x=1或
9
8
54
43
时,△MPA为等腰三角形.
答案解析:(1)根据PG和OG的长度即可求得P的坐标;
(2)△MPA为等腰三角形,则PM=PA或PM=MA或PA=AM即可,分别求x的值,即可解题.
考试点:相似三角形的判定与性质;等腰三角形的判定.
知识点:本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用,考查了相似三角形对应边比值相等的性质,本题中列出关于x的关系式并求解是解题的关键.