试求x^111-x^31+x^13+x^9-x^3被x+1除所得的余式.
问题描述：
试求x^111-x^31+x^13+x^9-x^3被x+1除所得的余式.
请详细写清楚计算过程.
答
x^111-x^31+x^13+x^9-x^3
= (x^111 + x^110) - (x^110 + x^109) + (x^109 + x^108) - ……
+ (x^33 + x^32) - (x^32 + x^31) + (x^13 + x^9 - x^3)
上式中,除最后三项外,均已经可以被 (x+1) 整除.接下来考虑后三项
x^13 + x^9 - x^3
= (x^13 + x^12) - (x^12 + x^11) + (x^11 + x^10) - (x^10 + x^9) + (2x^9 - x^3)
上式中,除最后一项外,均已经可以被 (x+1) 整除.接下来考虑后二项
2x^9 - x^3
= 2(x^9 + x^8) - 2(x^8 + x^7) + …… 2(x^5 + x^4) - 2(x^4 + x^3) + x^3
上式中,除最后一项外,均已经可以被 (x+1) 整除.接下来考虑最后项
x^3
= (x^3 + x^2) - (x^2 + x) + (x + 1) - 1
因此,最后的余式为 -1