已知数列{an}的前n项和为Sn，且对任意正整数n，有Sn，a/2(a-1)an，n（a≠0，a≠1）成等差数列，令bn=（an+1）lg（an+1）． （1）求数列{an}的通项公式an（用a，n表示） （2）当a=8/9时，数列{bn}
问题描述：
已知数列{an}的前n项和为Sn，且对任意正整数n，有Sn，
an，n（a≠0，a≠1）成等差数列，令bn=（an+1）lg（an+1）．a 2(a-1)
（1）求数列{an}的通项公式an（用a，n表示）
（2）当a=
时，数列{bn}是否存在最小项，若有，请求出第几项最小；若无，请说明理由；8 9
（3）若{bn}是一个单调递增数列，请求出a的取值范围．
答
（1）由题意
an=Sn+n①a a-1
∴
an+1=Sn+1+n+1②a a-1
②-①得
an+1=1 a-1
an+1，a a-1
即an+1+1=a（an+1），{an+1}是以a为公比的等比数列．∴an+1=（a1+1）an-1
又由
a1=a1+1⇒a1=a-1∴an=an-1a a-1
（2）a=
时，bn=n(8 9
)nlg8 9
，bn+1-bn=8 9
•(8-n 9
)n•lg8 9
8 9
当n＜8时，bn+1-bn＜0即bn+1＜bn，∴b1＞b2＞＞b8
当n=8时，bn+1-bn=0即bn+1=b&n，b8=b9
当n＞8时，bn+1-bn＞0即bn+1＞bn∴b9＜b10＜
存在最小项且第8项和第9项最小
（3）由bn+1＞bn得bn+1-bn=（n+1）an+1lga-nanlga=an[（n+1）a-n]lga＞0
当a＞1时，得（n+1）a-n＞0，即a＞
，显然恒成立，∴a＞1n n+1
当0＜a＜1时，lga＜0，∴（n+1）a-n＜0即a＜
，∴a＜n n+1
，∴0＜a＜1 2
1 2
综上，a的取值范围为(0，
)∪(1，+∞)．1 2