A,B是n阶方阵,E是n阶单位阵,求证：ABA=B^-1的充分必要条件是:秩(E+AB)+秩(E-AB)=n
问题描述：
A,B是n阶方阵,E是n阶单位阵,求证：ABA=B^-1的充分必要条件是:秩(E+AB)+秩(E-AB)=n
(只需要证充分性)谢谢~
答
ABA是逆当且仅当ABAB = E,即(AB)^2 = E.
充分性：记C=AB,若rank(E-C) + rank(E+C) = n,考虑下述的分块矩阵用一系列初等变换：
E+C 0
0 E-C
E+C E-C
0 E-C
2E E-C
E-C E-C
2E E-C
0 E-C - (E-C)(E-C)/2
2E 0
0 E-C - (E-C)(E-C)/2
由于初等变换保秩,所以第一个矩阵和最后一个矩阵秩相等.
第一个矩阵由条件秩为n,所以最后一个矩阵中分块的部分
E-C - (E-C)(E-C)/2 = (E+C)(E-C)/2 = 0
所以C^2 = E,证毕.这是比较常用的方法，可以处理很多矩阵的秩不等式