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如图，在平面直角坐标系中，点P从点A开始沿x轴向点O以1cm/s的速度移动，点Q从点O开始沿y轴向点B以2cm/s的速度移动，且OA=6cm，OB=12cm．如果P，Q分别从A，O同时出发． （1）设△POQ的面积等于y

分类: 作业答案 • 2022-04-25 09:55:40
问题描述：

如图，在平面直角坐标系中，点P从点A开始沿x轴向点O以1cm/s的速度移动，点Q从点O开始沿y轴向点B以2cm/s的速度移动，且OA=6cm，OB=12cm．如果P，Q分别从A，O同时出发．
（1）设△POQ的面积等于y，运动时间为x，写出y与x之间的函数关系，并求出面积的最大值；
（2）几秒后△POQ与△AOB相似；
（3）几秒后以PQ为直径的圆与直线AB相切．

答

（1）y=

1
2
（6-x）•2x=-x2+6x=-（x-3）2+9，y的最大值=9cm2．
（2）由于∠POQ=∠AOB=90°，如果△POQ与△AOB相似，无非两种情况：
OP
OA
＝
OQ
OB
或
OP
OB
＝
OQ
OA
．
由
2x
12
＝
6−x
6
，得x=3；
由
2x
6
＝
6−x
12
，得x=
6
5
．
即x=3s或x=
6
5
s．
（3）x=
6
5
s时以PQ为直径的圆与AB相切．
设以PQ为直径的圆与AB的切点为E；
∵BE2=BQ•BO=12（12-2x）
AE2=AP•AO=6x，又（AE+BE）2=OB2+OA2
∴（
12(12−2x)
+
6x
）2=122+62，
解之，得x=
6
5
s．

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