已知x.y属于正实数,且x+y=1,求z=(x+1/x)(y+1/y)的最小值

问题描述:

已知x.y属于正实数,且x+y=1,求z=(x+1/x)(y+1/y)的最小值

∵x,y属于正实数,x+y=1
∴0<x<1,0<y<1
令w=xy=x(1-x),则有
w=-x²+x=-(x-1/2)²+1/4
∴w在[0,1/2]上单调递增,在[1/2,1]上单调递减
∴当x=1/2时,w=1/4为最大值
假如x可以取到0或1,则w=0为最小值
∴w∈(0,1/4]
z=(x+1/x)(y+1/y)
=xy+1/(xy)+x/y+y/x
=xy+1/(xy)+(x²+y²)/(xy)
=xy+1/(xy)+[(x+y)²-2xy]/(xy)
=xy+1/(xy)+(1-2xy)/(xy)
=xy+2/(xy)-2
=w+2/w-2
∵w>0
∴w+2/w≥2(w·2/w)^1/2=2√2
且当且仅当w=2/w,即w=√2时等号成立
而√2不在w的取值范围(0,1/4]内
∴当w=1/4时,z=w+2/w-2取得最小值,为25/4