若A是正定矩阵,B是同阶方阵且AB=BA,求证A^1/2B=BA^1/2
问题描述：
若A是正定矩阵,B是同阶方阵且AB=BA,求证A^1/2B=BA^1/2
答
AB=BA可以推出对任何多项式p都有p(A)B=Bp(A)
然后构造一个多项式使得p(A)=A^{1/2}即可p(A)=A^{1/2}一定成立吗？怎样判断的啊矩阵函数总可以用多项式代替的, 证明取决于矩阵函数的定义方式对于A^{1/2}而言, 可以直接取满足p(λ_i)=λ_i^{1/2}的Lagrange插值多项式