设A是实对称矩阵,若A*A=O,证明:A=O
问题描述：
设A是实对称矩阵,若A*A=O,证明:A=O
答
因为A^2=0
所以A的特征值都是0.
又因为A是实对称矩阵, 所以存在可逆矩阵P, 使得 P^-1AP = diag(0,0,...,0) = 0
故有 A = POP^-1 = 0.
答
一楼是利用实对称矩阵是正规矩阵,所以可以对角化.不过这个是相似标准型的内容,开学到现在可能还没学到这部分内容吧.
其实没那么麻烦.
你看看A*A的对角线是什么.
由于对称性,第一个对角线元素就是a11^2+a12^2+...a1n^2=0 推出第一行元素都是0
第二个对角线元素是 a21^2+a22^2+...a2n^2=0 类似.
所以,对角线元素就是A的对应行的元素的平方和.那么就知道A的所有元素都是0了.
这个有个一般性的结论,就是tr(AA’)=a11^2+a12^2+...ann^2 A的所有元素的平方和
tr表示迹,就是矩阵的对角线的元素和,A’是A的转置.上题中由于A实对称,所以A‘就是A.