证明对称矩阵如果n阶实对称矩阵A满足A^3=En,证明：A一定是单位矩阵 答案是这样的,有不懂的地方：因为A^3=En 所以A的特征值一定是x^3=1的实根 所以λ1=λ2=λ3=1 A相似于单位矩阵必有A=En 1.这里是不是因为对应的多项式为f（x）=x^3-1,所以,f(λ)=λ^3-1=0,所以λ1=λ2=λ3=1?2.因为A是对称矩阵所以必有正交阵P,使得P^-1*A*P=P'*A*P=∧,∧的对角元为1,1,1,所以相似于E,可是方阵是n阶,这里求得的特征值只有三个,对角阵应该也是n阶才能相似于En啊?
问题描述：
证明对称矩阵
如果n阶实对称矩阵A满足A^3=En,证明：A一定是单位矩阵
答案是这样的,有不懂的地方：
因为A^3=En
所以A的特征值一定是x^3=1的实根
所以λ1=λ2=λ3=1
A相似于单位矩阵必有A=En
1.这里是不是因为对应的多项式为f（x）=x^3-1,所以,f(λ)=λ^3-1=0,所以λ1=λ2=λ3=1?
2.因为A是对称矩阵所以必有正交阵P,使得P^-1*A*P=P'*A*P=∧,∧的对角元为1,1,1,所以相似于E,可是方阵是n阶,这里求得的特征值只有三个,对角阵应该也是n阶才能相似于En啊?
答
我知道你答案的意思了,它是用了A的特征值是A的任何一个化零多项式的根这样一个结论由题意:x^3-1是A的化零多项式,它有唯一根x=1又因为A的特征值是A的任何一个化零多项式的根这样一个结论,所以A必然至少有一个特征值λ...