如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,点P为BC边上一点,PE⊥AB于点E,PF⊥DC于点F,BG⊥CD于点G,试说明PE+PF=BG.

问题描述:

如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,点P为BC边上一点,PE⊥AB于点E,PF⊥DC于点F,BG⊥CD于点G,试说明PE+PF=BG.

证明:过点P作PH⊥BG,垂足为H,
∵BG⊥CD,PF⊥CD,PH⊥BG,
∴∠PHG=∠HGC=∠PFG=90°,
∴四边形PHGF是矩形,
∴PF=HG,PH∥CD,
∴∠BPH=∠C,
在等腰梯形ABCD中,∠PBE=∠C,
∴∠PBE=∠BPH,
又∠PEB=∠BHP=90°,BP=PB,
在△PBE和△BPH中

∠PEB=∠BHP=90°
∠PBE=∠BPH
BP=PB

∴△PBE≌△BPH(AAS),
∴PE=BH,
∴PE+PF=BH+HG=BG.
答案解析:过P作PH⊥BG,把BG分成两段,根据矩形得到PF=HG,再证明△BPH和△PBE全等得到PE=BH,继而可得出结论.
考试点:等腰梯形的性质.
知识点:本题考查了等腰梯形的性质,利用“截长补短法”的截长,即把较长的线段截为两段,再分别证明线段相等,从而问题得以解决.