如图, 四棱锥P-ABCD的底面,ABCD是正方形, 侧棱 PD⊥底面ABCD, PD=DC, E是PC的中点.㈠.求证:PA//BDE.㈡. 若F是PB上的一点, 求证AC⊥DF.㈢. 求二面角B-DE-C的余弦值.
问题描述：
如图, 四棱锥P-ABCD的底面,ABCD是正方形, 侧棱 PD⊥底面ABCD, PD=DC, E是PC的中点.
㈠.求证:PA//BDE.
㈡. 若F是PB上的一点, 求证AC⊥DF.
㈢. 求二面角B-DE-C的余弦值.
答
证明：（1）连接AC,BD交于点O,连接OE,则AO=OC,∴OE是△PAC的中位线,
∴OE//AP,∴PA//平面BDE
(2)AC⊥BD,又PD⊥AC,∴AC⊥平面PBD,∴AC⊥DF
(3)AD⊥平面PDC,AD//BC,∴BC⊥平面PDC,又PD=DC,∴CE⊥DE,∴∠BEC即为所求角,其正切值为BC/EC=DC/EC=√2.∴余弦值为√3/3