三角形ABC中角CAB=90度,AB=AC,E,F是BC上的点且角EAF=45度,求证EF的平方=BE的平方+FC的平方?
问题描述：
三角形ABC中角CAB=90度,AB=AC,E,F是BC上的点且角EAF=45度,求证EF的平方=BE的平方+FC的平方?
答
将△AEB逆时针转动直至AB与AC重合，AE'=AE,CE'=BE.
∠E'AC=∠EAB,∠ABE=∠ACE'=∠ACB=45°连接E'F.
∠E'AF=∠E'AC+∠FAC=45°
AE'=AE,△E'AF≌△EAF,E'F=EF,
△CE'F为RT△,E'F²=CE'²+FC²,
EF²=BE²+FC²
答
将△AEB逆时针转动直至AB与AC重合，AE'=AE,CE'=BE
∠E'AC=∠EAB,∠ABE=∠ACE'=∠ACB=45°连接E'F.
∠E'AF=∠E'AC+∠FAC=45°
AE'=AE,△E'AF≌△EAF,E'F=EF,
△CE'F为RT△,E'F²=CE'²+FC²,
EF²=BE²+FC²
答
证明：
作BG⊥BC,使BG=CF,连接AG
⊿ACF≌⊿ABG（SAS）
∴AF=AG,∠CAF=∠BAG
∵∠EAF=45º,∴∠EAG=∠CAF+∠BAG=45º
∴⊿FAE≌⊿GAE（SAS）
∴EF=EG
∴EF²=EG²=BE²+BG²=BE²+FC²