求方程x^2y^2+yx^3=1确定的隐函数y=y(x),求出它的导数和所有的极限值.
问题描述：
求方程x^2y^2+yx^3=1确定的隐函数y=y(x),求出它的导数和所有的极限值.
答
这题显然可以不用隐函数做.
x²y² + x³y - 1 =0
y = [-x³ ± √(x^6 + x²)]/(2x²) = -x/2 ± [√(x² + 1/x²)]/2
其余见图.
(1)取+号
y = -x/2 + [√(x² + 1/x²)]/2
y' = -1/2 + （1/2)(1/2)(2x - 2/x³)/√(x² + 1/x²) = (1/2)[x - 1/x³-√(x² + 1/x²)/[√(x² + 1/x²) = 0
x - 1/x³ = √(x² + 1/x²)
3x^4 = 1
x = ± 1/3^(1/4)
由图,这里取x = -1/3^(1/4) (不知道是不是有更简单的办法来判定)
y = 3/[2*3^(1/4)] (极小值)
(2) 取-号
情况与(1)类似,x = ± 1/3^(1/4)
但这里取 x = 1/3^(1/4)
y = -3/[2*3^(1/4)] (极大值)