设a＞0，函数f(x)＝x+a2x，g(x)＝x−lnx，若对任意的x1，x2∈[1，e]，都有f（x1）≥g（x2）成立，则实数a的取值范围为______．
问题描述：
设a＞0，函数f(x)＝x+
，g(x)＝x−lnx，若对任意的x1，x2∈[1，e]，都有f（x1）≥g（x2）成立，则实数a的取值范围为______． a2 x
答
∵g（x）=x-lnx∴g'（x）=1-
，x∈[1，e]，g'（x）≥0 函数g（x）单调递增1 x
g（x）的最大值为g（e）=e-1
∵f（x）=x+
∴f'（x）=a2 x
，令f'（x）=0∵a＞0∴x=ax 2−a2
x 2
当0＜a＜1 f（x）在[1，e]上单调增 f（1）最小=1+a2≥e-1∴1＞a≥
e−2
当1≤a≤e 列表可知 f（a）最小=2a≥e-1 恒成立
当a＞e时 f（x）在[1，e]上单调减 f（e）最小=
≥e-1 恒成立
e2+a2
e
综上a≥
e−2
故答案为：a≥
e−2
答案解析：先对函数g（x）求导判断出函数g（x）的单调性并求其最大值，然后对函数f（x）进行求导判断单调性求其最小值，最后令函数f（x）的最小值大于等于函数g（x）的最大值即可．
考试点：利用导数研究函数的单调性．
知识点：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．