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设点P是曲线y=x3-3x+23上的任意一点，P点处切线倾斜角为α，则角α的取值范围是（　　）A. [2π3，π)B. (π2，2π3]C. [0，π2)∪[2π3，π)D. [0，π2)∪[5π6，π)

分类: 作业答案 • 2022-04-17 10:23:37
问题描述：

设点P是曲线y=x3-

 3
x+
2
3
上的任意一点，P点处切线倾斜角为α，则角α的取值范围是（　　）
A. [
2π
3
，π)
B. (
π
2
，
2π
3
]
C. [0，
π
2
)∪[
2π
3
，π)
D. [0，
π
2
)∪[
5π
6
，π)

答

∵y′=3x2-

 3
≥-
 3
，∴tanα≥-
 3
，
又∵0≤α≤π，
∴0≤α＜
π
2
或
2π
3
≤a＜π．
则角α的取值范围是[0，
π
2
）∪[
2π
3
，π）．
故选C．
答案解析：求出曲线解析式的导函数，根据完全平方式大于等于0求出导函数的最小值，由曲线在P点切线的斜率为导函数的值，且直线的斜率等于其倾斜角的正切值，从而得到tanα的范围，由α的范围，求出α的范围即可．
考试点：利用导数研究曲线上某点切线方程；直线的倾斜角．
知识点：考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会利用切线的斜率与倾斜角之间的关系k=tanα进行求解．

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