一道高中求数列通项题 已知{an}中,a1=1/3,前n项和Sn与an的关系是Sn=n(2n-1)an,求an.

已知Sn=n(2n-1)an 当n=2时
S2=a1+a2=1/3+a2=6a2 a2=1/15 当n=3时
S3=a1+a2+a3=1/3+1/15+a3=15an a3=1/35
其他自己算吧

思路：
前n项和：Sn=n(2n-1)an,
前n-1项和： Sn-1=(n-1)[2(n-1)-1]an-1
Sn-Sn-1=an,代入整理得： (2n+1)an=(2n-3)an-1
an/an-1=(2n-3)/(2n+1)
an-1/an-2=(2n-5)/(2n-1)
……
a3/a2=3/7
a2/a1=1/5,a1=1/3
用累乘法：an/a1=3/[(2n+1)(2n-1)],an=1/[(2n+1)(2n-1)]

当n>=2时
Sn=n(2n-1)an
S(n-1)=(n-1)(2n-3)a(n-1)
an=Sn-S(n-1)=n(2n-1)an-(n-1)(2n-3)a(n-1)
an/a(n-1)=(2n-3)/(2n+1)
所以
an=an/a(n-1) * a(n-1)/a(n-2) * a(n-2)/a(n-3) * ...* a2 / a1 * a1
=(2n-3)/(2n+1) * (2n-5)/(2n-1) * (2n-7)/(2n-3) * ...* 1/5 * 1/3
=1/((2n+1)(2n-1))
=1/(4n^2-1)
当n=1时也成立
所以an=1/(4n^2-1)