已知函数f(x)=[根号下(3-ax)]/(a-2)(a≠2),若f(x)在区间(0,1]上是减函数,则实数a的取值范围.

问题描述:

已知函数f(x)=[根号下(3-ax)]/(a-2)(a≠2),若f(x)在区间(0,1]上是减函数,
则实数a的取值范围.


令在定义域内的x1>x2
由于是减函数,所以
f(x1)-f(x2)<0.
代入f(x)=√(3-ax)/(a-2)
[√(3-ax1)-√(3-ax2)]/(a-2)<0
下面我们对a进行分类讨论
①a>2时
a-2>0,
要使[√(3-ax1)-√(3-ax2)]/(a-2)<0
就有√(3-ax1)<√(3-ax2)
因为3-ax1<3-ax2在a>2时恒成立
所以,只需讨论根号下的数大于0这个限制条件
3-ax≥0
ax≤3
∵x∈(0,1]
解得a∈(0,3]
取交集
得a∈(2,3]
②a<2时,a-2<0
要使[√(3-ax1)-√(3-ax2)]/(a-2)<0
就有√(3-ax1)>√(3-ax2),
3-ax1>3-ax2在a<0时成立,
且a<0时,定义域内的x可使函数恒有意义
综上所述,a的取值范围是
(-∞,0)∪(2,3]

这个本来不想答的,
但是发现居然是个复制答案,
f(x)=[根号下(3-ax)]/(a-2)在(0,1)上是减函数
(1)
a>2时,
g(x)=√(3-ax)在(0,1)上是减函数
∴ a>0且(3-ax)≥0恒成立
∴ a>0且3-a≥0
∴ 0