已知直线Ln:y=x-根号(2n)与圆Cn:x^2+y^2=an+n+2(n∈N*)交于不同点An,Bn,其中数列{an}满足a1=1,an+1=1/4*│AnBn│^2(1).求数列{an}的通项公式(2).设bn=n/3*(an+2),求数列{bn}的前n项和Sn.注意(2)的an+2,2不是下标.
问题描述：
已知直线Ln:y=x-根号(2n)与圆Cn:x^2+y^2=an+n+2(n∈N*)交于不同点An,Bn,其中数列{an}满足a1=1,an+1=1/4*│AnBn│^2
(1).求数列{an}的通项公式
(2).设bn=n/3*(an+2),求数列{bn}的前n项和Sn.
注意(2)的an+2,2不是下标.
答
(1) 把y=x-根号(2n)代入圆方程,得到一个二次方程,用弦长公式L^2=(k^2+1)[(x1+x2)^2-4x1x2)
得到AnBn^2的值,解得a(n+1)=an+1
故an=1+2(n-1)=2n-1
(2)将an代入bn中,得bn=(2n^2+n)/3=2/3(n^2+n/2)
Sn=2/3[1+1/2+2^2+2/2+...+n^2+n/2]
=2/3[(1+2^2+3^2+...+n^2)+(1/2+1+3/2+...n/2)]
=2/3[n*(n+1)*(2n+1)/6 +n*(n+1)/4]