已知椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左焦点及点A(0,b),原点O到直线FA的距离为根号2/2b若点F关于直线l:2x+y=0的对称点P在圆O:x^2+y^2=4上,求椭圆C的方程及点P的坐标
问题描述：
已知椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左焦点及点A(0,b),原点O到直线FA的距离为根号2/2b
若点F关于直线l:2x+y=0的对称点P在圆O:x^2+y^2=4上,求椭圆C的方程及点P的坐标
答
FA的方程为：bx-cy+bc=0.原点到FA的距离=[bc]/√(b^2+c^2)=(√2/2)c b=c
过F(-c,0)且与2x+y=0垂直的直线方程为：x=2y-c,与2x+y=0的交点为：(-c/5,2c/5)
设P(x0,y0),则由中点公式得：x0=2(-c/5)+c=3c/5 y0=2(2c/5)=4c/5
(3c/5)^2+(4c/5)^2=4 c^2=b^2=4 a^2=8,椭圆C的方程为：x^2/8+y^2/4=1
P(3√2/5,4√2/5)