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已知等差数列{an}的公差d大于0，且a2、a5是方程x2-12x+27=0的两根．数列{bn}的前n项和为Tn，满足Tn=2-bn（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；（Ⅱ）设数列{an}的前n项和为Sn，记cn=（Sn-λ）•bn（λ∈R，n∈N*）．若c6为数列{cn}中的最大项，求实数λ的取值范围．

分类: 作业答案 • 2022-04-10 12:39:26
问题描述：

已知等差数列{an}的公差d大于0，且a2、a5是方程x2-12x+27=0的两根．数列{bn}的前n项和为Tn，满足Tn=2-bn（n∈N*）．
（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{an}的前n项和为Sn，记cn=（Sn-λ）•bn（λ∈R，n∈N*）．若c6为数列{cn}中的最大项，求实数λ的取值范围．

答

（Ⅰ）∵a2、a5是方程x2-12x+27=0的两根
∴a2+a5=12，a2a5=27，
∵d＞0，∴a2=3，a5=9，
∴d＝

a5−a2
3
＝2，a1＝1，
∴an=2n-1（n∈N*）
在已知Tn=2-bn中，令n=1，得b1=1
当n≥2时，Tn=2-bn，Tn-1=2-bn-1，两式相减得，bn=bn-1-bn，
∴
bn
bn−1
＝
1
2
(n≥2)，
∴bn＝(
1
2
)n−1(n∈N*)
（Ⅱ）∵Sn＝
n[1+(2n−1)]
2
＝n2，则cn＝(Sn−λ)•bn＝(n2−λ)•(
1
2
)n−1
当n≥2时，cn−cn−1＝(n2−λ)•(
1
2
)n−1−[(n−1)2−λ]•(
1
2
)n−2=
−n2+4n−2+λ
2n−1

∴c6为数列{cn}中的最大项，
∴有n≥7时，cn-cn-1≤0，
∴λ≤23，n≤6时，cn-cn-1≥0，
∴λ≥14
∴14≤λ≤23．
答案解析：（Ⅰ）根据a2、a5是方程x2-12x+27=0的两根，可得a2+a5=12，a2a5=27，结合d＞0，可得数列{an}的通项公式；利用Tn=2-bn，再写一式，两式相减，可得数列{bn}的通项公式；
（Ⅱ）根据cn=（Sn-λ）•bn，确定表达式，利用c6为数列{cn}中的最大项，即可求实数λ的取值范围．
考试点：等差数列与等比数列的综合；等差数列的通项公式；数列的求和．
知识点：本题考查数列递推式，考查数列的通项，考查数列的单调性，确定数列的通项是关键．

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