已知圆x2+y2+4x+2y+1=0上任意点关于直线mx+ny+1=0(m>0,n>0)的对称点均在圆上,则1/m+1/n的最小值是_.

问题描述:

已知圆x2+y2+4x+2y+1=0上任意点关于直线mx+ny+1=0(m>0,n>0)的对称点均在圆上,则

1
m
+
1
n
的最小值是______.

由圆的对称性可得,
直线mx+ny+1=0(m>0,n>0)必过圆心(-2,-1),
所以2m+n=1.
所以

1
m
+
1
n
=
2m+n
m
+
2m+n
n

=
n
m
+
m
n
+3≥2
n
m
×
m
n
+3=3+2
2

当且仅当m=n,时取等号,
故答案为:3+2
2