椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的半焦距为c,若直线y=2x与椭圆的一个交点的横坐标恰为c,则椭圆的离心率为_.

问题描述:

椭圆

x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的半焦距为c,若直线y=2x与椭圆的一个交点的横坐标恰为c,则椭圆的离心率为______.

由题意,直线y=2x与椭圆的一个交点的纵坐标为2c,
将其代入

x2
a2
+
y2
b2
=1得
c2
a2
+
4c2
b2
=1

而∴e2+
4e2
1−e2
=1

所以e=
2
−1
,另一根不合题意,舍去
故答案为
2
−1