已知函数f(x)=kx3-3(k+1)x2-k2+1(k>0),若f(x)的单调减区间为(0,4),求k的值.

问题描述:

已知函数f(x)=kx3-3(k+1)x2-k2+1(k>0),若f(x)的单调减区间为(0,4),求k的值.

f'(x)=3kx2-6(k+1)x=0(k>0),
解得:x=0或

2k+2
k

2k+2
k
>2
令f'(x)=3kx2-6(k+1)x<0,解得x∈(0,
2k+2
k

∴f(x)的单调减区间为(0,
2k+2
k

根据题意可知(0,4)=(0,
2k+2
k
),
2k+2
k
=4,解得k=1
所以k的值为1.