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在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB1⊥BC1，CA1⊥BC1．求证：AB1=CA1．

分类: 作业答案 • 2022-03-28 08:46:46
问题描述：

在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB1⊥BC1，CA1⊥BC1．求证：AB1=CA1．

答

证明　以A为原点，AC为x轴，AA1为z轴建立空间直角坐标系．
设B（a，b，0），C（c，0，0），A1（0，0，d），
则B1（a，b，d），C1（c，0，d），

AB1
=（a，b，d），
BC1
=（c-a，-b，d），
CA1
=（-c，0，d），
由已知
AB1
•
BC1
=ca-a2-b2+d2=0，
CA1
•
BC1
•
BC1
=-c（c-a）+d2=0，可得c2=a2+b2．
再由两点间距离公式可得：
|AB1|2=a2+b2+d2，|CA1|2=c2+d2=a2+b2+d2，
∴AB1=CA1．

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