设函数f(x)=p(x-1/x)-2lnx,g(x)=x2, (I)若直线l与函数f(x),g(x)的图象都相切,且与函数f(x)的图象相切于点(1,0),求实数p的值; (II)若f(x)在其定义域内为单调函数,
问题描述:
设函数f(x)=p(x-
)-2lnx,g(x)=x2,1 x
(I)若直线l与函数f(x),g(x)的图象都相切,且与函数f(x)的图象相切于点(1,0),求实数p的值;
(II)若f(x)在其定义域内为单调函数,求实数p的取值范围.
答
(Ⅰ)方法一:∵f′(x)=p+
−p x2
,∴f'(1)=2p-2.2 x
设直线,并设l与g(x)=x2相切于点M(x0,y0)
∵g'(x)=2x,∴2x0=2p-2,解得
∴x0=p−1,y0=(p−1)2,
代入直线l方程解得p=1或p=3.
方法二:将直线方程l代入y=x2得2(p-1)(x-1)=0,
∴△=4(p-1)2-8(p-1)=0,
解得p=1或p=3.
(Ⅱ)∵f′(x)=p+
−p x2
=2 x
..px2−2x+p x2
①要使f(x)为单调增函数,f'(x)≥0在(0,+∞)恒成立,
即px2-2x+p≥0在(0,+∞)恒成立,即p≥
=2x
x2+1
在(0,+∞)恒成立,2 x+
1 x
又
≤1,所以当p≥1,此时f(x)在(0,+∞)为单调增函数; 2 x+
1 x
②要使f(x)为单调减函数,须f'(x)<0在(0,+∞)恒成立,
即在(0,+∞)恒成立,即p≤
,(0,+∞)恒成立,又2x
x2+1
≥0,所以p≤0.当p≤0时,f(x)在(0,+∞)为单调减函数.2x
x2+1
综上,若f(x)在(0,+∞)为单调函数,则p的取值范围为p≥1或p≤0.