在数列{an}中,a1=2,an+1=4an-3n+1,n∈N* (1)证明数列{an-n}为等比数列 (2)求数列{an}的前n项和Sn.

问题描述:

在数列{an}中,a1=2,an+1=4an-3n+1,n∈N*
(1)证明数列{an-n}为等比数列
(2)求数列{an}的前n项和Sn

(1)∵an+1=4an-3n+1n∈N*
∴an+1-(n+1)
=4an-3n+1-(n+1)…(4)分
=4an-4n=4(an-n)…(6)分
∴{an-n}为首项a1-1=1,公比q=4的等比数列…(8)分
(2)∵an-n=4n-1
∴an=n+4n-1…(10)分
Sn=1+2+…+n+(1+4+…+4n-1
=

n(n+1)
2
+
1−4n
1−4

=
n(n+1)
2
+
4n−1
3
…(13)分