设A，F分别是椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左顶点与右焦点，若在其右准线上存在点P，使得线段PA的垂直平分线恰好经过点F，则椭圆的离心率的取值范围是 _ ．

分类: 作业答案 • 2022-03-20 13:03:50

问题描述：

设A，F分别是椭圆

=1(a＞b＞0)的左顶点与右焦点，若在其右准线上存在点P，使得线段PA的垂直平分线恰好经过点F，则椭圆的离心率的取值范围是 ___ ．

答

由题意，椭圆上右准线上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，即F点到P点与A点的距离相等
而|FA|=a+c，如图，
又|FH|=

-c
|PF|≥|FH|，
于是a+c≥

-c即ac+2c^2≥a²，
∴2e²+e-1≥0，e≥

，又e∈（0，1）
故e∈[

，1）
故答案为：[

，1）．