设A,F分别是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点与右焦点,若在其右准线上存在点P,使得线段PA的垂直平分线恰好经过点F,则椭圆的离心率的取值范围是 _ .

问题描述:

设A,F分别是椭圆

x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左顶点与右焦点,若在其右准线上存在点P,使得线段PA的垂直平分线恰好经过点F,则椭圆的离心率的取值范围是 ___ .

由题意,椭圆上右准线上存在点P,使得线段AP的垂直平分线过点F,即F点到P点与A点的距离相等
而|FA|=a+c,如图,
又|FH|=

a2
c
-c
|PF|≥|FH|,
于是a+c≥
a2
c
-c
即ac+2c2≥a2
∴2e2+e-1≥0,e≥
1
2
,又e∈(0,1)
故e∈[
1
2
,1)
故答案为:[
1
2
,1).