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已知椭圆x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，若椭圆上存在一点P使|PF1|=e|PF2|，则该椭圆的离心率e的取值范围是_．

分类: 作业答案 • 2022-04-04 21:56:47

问题描述：

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F₁，F₂，若椭圆上存在一点P使|PF₁|=e|PF₂|，则该椭圆的离心率e的取值范围是______．

答

设点P的横坐标为x，∵|PF₁|=e|PF₂|，则由椭圆的定义可得 e（x+

a2

c

）=e•e（

a2

c

-x），
∴x=

c−a

e(e+1)

，由题意可得-a≤

c−a

e(e+1)

≤a，∴-1≤

e−1

e(e+1)

≤1，
∴

e−1 ≥ e2− e

e−1 ≤ e2+ e

，∴

2

-1≤e＜1，则该椭圆的离心率e的取值范围是[

2

−1，1），
故答案为：[

2

−1，1）．