已知数列{an}的前n项和是Sn，且Sn=2an-n（n∈N*）．（1）证明：数列{an+1}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；（2）记bn=an+1anan+1，求数列{bn}的前n项和．
问题描述：
已知数列{an}的前n项和是Sn，且Sn=2an-n（n∈N*）．
（1）证明：数列{an+1}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；
（2）记bn=
，求数列{bn}的前n项和．
an+1
anan+1
答
（1）∵Sn=2an-n，∴n=1时，a1=2a1-1，解得a1=1．n≥2时，an=Sn-Sn-1=（2an-n）-（2an-1-n+1）=2an-2an-1-1，∴an=2an-1+1，∴an+1=2（an-1+1），∵a1+1=2，∴数列{an+1}是首项为2，公比为2的等比数列．∴an+1＝2n，...
答案解析：（1）由已知条件推导出an=2an-1+1，由此能证明数列{an+1}是首项为2，公比为2的等比数列，从而能求出an＝2n−1．（2）bn=an+1anan+1=2n(2n−1)(2n+1−1)=12n−1−12n+1−1，由此利用裂项求和法能求出数列{bn}的前n项和．
考试点：数列的求和．
知识点：本题考等比数列的证明，考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，注意裂项求和法的合理运用．