xf'(x)>f(x)在 x>0上恒成立,证明任意的x1,x2(x1>0,x2>0)均有f(x1+x2)>f(x1)+f(x2)
问题描述:
xf'(x)>f(x)在 x>0上恒成立,证明任意的x1,x2(x1>0,x2>0)均有f(x1+x2)>f(x1)+f(x2)
答
令g(x)=f(x)/x的导数为xf'(x)-f(x) /x^2>0
所以g(x)在0到正无穷上是增函数
对于任意x1,x2>0,
x1+x2>x1
x1f(x1+x2)>(x1+x2)f(x1)
x1+x2>x2
x2f(x1+x2)>(x1+x2)f(x2)
相加
(x1+x2)f(x1+x2)>(x1+x2)(f(x1)+f(x2))
所以f(x1+x2)>f(x1)+f(x2)
命题得证