试证明：1²+2²+3²+……+N²=1/6N（N+1)（2N+1)

利用立方差公式
n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]
=n^2+(n-1)^2+n^2-n
=2*n^2+(n-1)^2-n
2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
4^3-3^3=2*4^2+3^2-4
......
n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n
各等式全相加
n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)
n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)
n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1
n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2
3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1)
=(n/2)(n+1)(2n+1)
1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

参考资料 http://wenku.baidu.com/view/058363fcf705cc1755270950.html

归纳演绎法。
已知i = 1， i=2， i=3时都正确， 设 i = N 时正确， 那么当 i = N + 1时
1²+2²+3²+……+N² + （N+1） ² = 1/6N（N+1)（2N+1) + （N+1） ² =
1/6（N+1) （ N（2N+1) + （N+1）） = 1/6（N+1)（2N² + 7N + 6) = 1/6（N+1)(N+2)(2N + 3)
= 1/6（N+1)((N+1) + 1)(2(N+1) + 1)
也就是所 i = N+1时， 等式也成立， 证明完毕。

证明：
∵(m+1)^3-m^3=3*m^2+3*m+1

2^3-1^3=3*1^2+3*1+1
3^3-2^3=3*2^2+3*2+1
4^3-3^3=3*3^2+3*3+1
.........
(n+1)^3-n^3=3*n^2+3*n+1

∴(n+1)^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+......+n^2)+3*n(n+1)/2+n
化简整理即得：
1^2+2^2+3^2+......+n^2=n*(n+1)*(2n+1)/6

（n+1）³-n³=3n²+3n+1
故
2³-1³=3×1²+3×1+1
3³-2³=3×2²+3×2+1
4³-3³=3×3²+3×3+1
……
（n+1）³-n³=3n²+3n+1
由等式的叠加性可知,左边相加=右边相加,即
（n+1）³-1=3（1²+2²+3²+……+n²）+3（1+2+3+……+n）+n
n³+3n²+3n+1-1=3（1²+2²+3²+……+n²）+3×1/2n（n+1）+n
3（1²+2²+3²+……+n²）=n³+3n²+3n-1.5n²-2.5n=n³+1.5n²+0.5n=1/2n×（2n²+3n+1）
=1/2n（n+1）（2n+1）
故1²+2²+3²+……+n²=1/6n（n+1）（2n+1）