已知函数f（x）对任意实数x，y恒有f（x+y）=f（x）+f（y）且当x＞0，f（x）＜0．（Ⅰ）判断f（x）的奇偶性，并证明之；（Ⅱ）判断f（x）的单调性，并证明之．
问题描述：
已知函数f（x）对任意实数x，y恒有f（x+y）=f（x）+f（y）且当x＞0，f（x）＜0．
（Ⅰ）判断f（x）的奇偶性，并证明之；
（Ⅱ）判断f（x）的单调性，并证明之．
答
知识点：本题考查抽象函数及其应用，难点在于△y=f（x1）-f（x2）=f（x1-x2+x2）-f（x2）的转化，突出考查转化思想与综合应用单调性定义解决问题的能力，属于中档题．
解 （Ⅰ）函数f（x）为奇函数．…（2分）证明：∵函数f（x）的定义域为R，而在f（x+y）=f（x）+f（y）中，令y为-x，则有f（0）=f（x）+f（-x）…（4分）又将x，y都取0代入得f（0）=0，即：f（-x）=-f（x），又...
答案解析：（Ⅰ）令x=y=0求得f（0）=0，令y为-x，f（x）+f（-x）=f（0）=0，即可判断f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）利用单调性的定义即可判断f（x）的单调性，在R上任取x1，x2，且令△x=x1-x2＞0，可证得△y=f（x1）-f（x2）＜0，问题得到解决．
考试点：抽象函数及其应用；函数奇偶性的判断．
知识点：本题考查抽象函数及其应用，难点在于△y=f（x1）-f（x2）=f（x1-x2+x2）-f（x2）的转化，突出考查转化思想与综合应用单调性定义解决问题的能力，属于中档题．