在锐角三角形中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足条件sin22B+sin2BsinB+cos2B=1． （Ⅰ）求∠B的值； （Ⅱ）若b=3，求a+c的最大值．
问题描述：
在锐角三角形中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足条件sin22B+sin2BsinB+cos2B=1．
（Ⅰ）求∠B的值；
（Ⅱ）若b=3，求a+c的最大值．
答
（1）∵sin22B+sin2BsinB+cos2B=1，∴4sin2Bcos2B+2sin2BcosB-2sin2B=0，
即2sin2B（2cosB-1）（cosB+1）=0．
又△ABC为锐角三角形，∴2cosB-1=0，即∠B=
．π 3
（Ⅱ）若b=3，由上可得∠B=
，由余弦定理可得 cosB=π 3
=
a2+c 2−b 2
2ac
，1 2
∴b2=9=a2+c2-2ac×
=（a+c）2-3ac≥（a+c）2-1 2
（a+c）2=(3 4
)2，a+c 2
∴a+c≤6，即a+c的最大值为6．