若关于x的方程x2-(a2+b2-6b)x+a2+b2+2a-4b+1=0的两个实数根x1,x2满足x1≤0≤x2≤1,则a2+b2+4a的最小值和最大值分别为(  )A. 12和5+45B. -72和5+45C. -72和12D. -12和15-45

问题描述:

若关于x的方程x2-(a2+b2-6b)x+a2+b2+2a-4b+1=0的两个实数根x1,x2满足x1≤0≤x2≤1,则a2+b2+4a的最小值和最大值分别为(  )
A.

1
2
和5+4
5

B. -
7
2
和5+4
5

C. -
7
2
和12
D. -
1
2
和15-4
5

令f(x)=x2-(a2+b2-6b)x+a2+b2+2a-4b+1,函数开口向上,又关于的方程x2-(a2+b2-6b)x+a2+b2+2a-4b+1=0的两个实数根x1,x2满足x1≤0≤x2≤1,

f(0)≤0
f(1)≥0
,即a2+b2+2a-4b+1≤0且a+b+1≥0
即(a+1)2+(b-2)2≤4且a+b+1≥0
表示以(-1,2)为圆心,半径小于等于2的圆平面与a+b+1=0右上部分平面区域的重叠部分
又a2+b2+4a=(a+2)2+b2-4
只要在满足条件区域中求点(a,b)到点(-2,0)距离最大最小即可
1)求最小
最小值为(-2,0)到a+b+1=0距离的平方减去4,得-
7
2

2)求最大
最大值为(-2,0)与(-1,2)距离
5

原式最大=(
5
+2)2-4=5+4
5

故选B
答案解析:由题设条件,令f(x)=x2-(a2+b2-6b)x+a2+b2+2a-4b+1,由关于的方程x2-(a2+b2-6b)x+a2+b2+2a-4b+1=0的两个实数根x1,x2满足x1≤0≤x2≤1,可得f(0)≤0,f(1)≥0,由此得出a,b所满足的关系,再求a2+b2+4a的最小值和最大值,选出正确选项
考试点:一元二次方程的根的分布与系数的关系.
知识点:本题考查一元二次方程的根的分布与系数的关系,解题的关键是掌握好一元二次方程根的分布及与系数的关系,利用二次函数的知识进行转化求出最大值与最小值