若关于x的方程x2-(a2+b2-6b)x+a2+b2+2a-4b+1=0的两个实数根x1,x2满足x1≤0≤x2≤1,则a2+b2+4a的最小值和最大值分别为( ) A.12和5+45 B.-72和5+45 C.-72和12 D.-12
问题描述:
若关于x的方程x2-(a2+b2-6b)x+a2+b2+2a-4b+1=0的两个实数根x1,x2满足x1≤0≤x2≤1,则a2+b2+4a的最小值和最大值分别为( )
A.
和5+41 2
5
B. -
和5+47 2
5
C. -
和127 2
D. -
和15-41 2
5
答
令f(x)=x2-(a2+b2-6b)x+a2+b2+2a-4b+1,函数开口向上,又关于的方程x2-(a2+b2-6b)x+a2+b2+2a-4b+1=0的两个实数根x1,x2满足x1≤0≤x2≤1,
得
,即a2+b2+2a-4b+1≤0且a+b+1≥0
f(0)≤0 f(1)≥0
即(a+1)2+(b-2)2≤4且a+b+1≥0
表示以(-1,2)为圆心,半径小于等于2的圆平面与a+b+1=0右上部分平面区域的重叠部分
又a2+b2+4a=(a+2)2+b2-4
只要在满足条件区域中求点(a,b)到点(-2,0)距离最大最小即可
1)求最小
最小值为(-2,0)到a+b+1=0距离的平方减去4,得-
7 2
2)求最大
最大值为(-2,0)与(-1,2)距离
5
原式最大=(
+2)2-4=5+4
5
5
故选B