根据图1所示的程序,得到了y与x的函数图象,如图2.若点M是y轴正半轴上任意一点,过点M作PQ∥x轴交图象于点P,Q,连接OP,OQ.则以下结论:①x<0时,y=2x②△OPQ的面积为定值.③x>0时,y随x的增大而增大.④MQ=2PM.⑤∠POQ可以等于90°.其中正确结论是(  )A. ①②④B. ②④⑤C. ③④⑤D. ②③⑤

问题描述:

根据图1所示的程序,得到了y与x的函数图象,如图2.若点M是y轴正半轴上任意一点,过点M作PQ∥x轴交图象于点P,Q,连接OP,OQ.则以下结论:
①x<0时,y=

2
x

②△OPQ的面积为定值.
③x>0时,y随x的增大而增大.
④MQ=2PM.
⑤∠POQ可以等于90°.其中正确结论是(  )
A. ①②④
B. ②④⑤
C. ③④⑤
D. ②③⑤

①、x<0,y=-

2
x
,∴①错误;
②、当x<0时,y=-
2
x
,当x>0时,y=
4
x

设P(a,b),Q(c,d),
则ab=-2,cd=4,
∴△OPQ的面积是
1
2
(-a)b+
1
2
cd=3,∴②正确;
③、x>0时,y随x的增大而减小,∴③错误;
④、∵ab=-2,cd=4,∴④正确;
⑤设PM=a,则OM=-
2
a
.则P02=PM2+OM2=a2+(-
2
a
2=a2+
4
a2

QO2=MQ2+OM2=(2a)2+(-
2
a
2=4a2+
4
a2

PQ2=PO2+QO2=a2+
4
a2
+4a2+
4
a2
=(3a)2=9a2
整理得a4=2
∵a有解,∴∠POQ=90°可能存在,故⑤正确;
正确的有②④⑤,
故选B.
答案解析:根据题意得到当x<0时,y=-
2
x
,当x>0时,y=
4
x
,设P(a,b),Q(c,d),求出ab=-2,cd=4,求出△OPQ的面积是3;x>0时,y随x的增大而减小;由ab=-2,cd=4得到MQ=2PM;因为∠POQ=90°也行,根据结论即可判断答案.
考试点:反比例函数综合题;反比例函数的性质;反比例函数图象上点的坐标特征;三角形的面积.
知识点:本题主要考查对反比例函数的性质,反比例函数图象上点的坐标特征,三角形的面积等知识点的理解和掌握,能根据这些性质进行说理是解此题的关键.